Question

【題目】.證明：

（1）當(dāng)，；

（2）對任意，當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題解析：

證明：（1）考慮函數(shù)，，

則的導(dǎo)數(shù)，

從而，

故在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，

因此對任意，都有，

即（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）①，

所以當(dāng)時，，即；

（2）由①可知當(dāng)時，，

即當(dāng)時，②；

當(dāng)時，③.

令函數(shù)，，

注意到，故要證②與③，只需證明在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.

事實上，當(dāng)時，

；

當(dāng)時，

.

綜上，對任意，當(dāng)時，.

點睛:本題函數(shù)的解析式為背景，旨在考查與函數(shù)有關(guān)的不等式的證明的方法，以及運用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識去分析問題和解決問題的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答第一問時，先構(gòu)造函數(shù)，，然后運用導(dǎo)數(shù)這一研究函數(shù)單調(diào)性的工具，進行分析推證從而使得問題獲證；第二問的推證這是運用分析轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進行等價轉(zhuǎn)化，然后再構(gòu)造函數(shù)，，運導(dǎo)數(shù)知識進行分析證明的，整個推證過程充分運用分析、綜合的常用的數(shù)學(xué)思想方法進行分析推證，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用。不等式的證明問題是高考和各級各類考試的難點內(nèi)容和題型，求解時應(yīng)具體問題具體分析靈活采用不同的方法進行綜合運用，以達證明之目的。