Question

4．某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動，有N人參加，現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如下所示．已知[35，40）這組的參加者是8人．
（1）求N和[30，35）這組的參加者人數(shù)N₁；
（2）已知[30，35）和[35，40）這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率；
（3）組織者從[45，55）這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為x，求x的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）先求出年齡在[35，40）內(nèi)的頻率，由此能求出總?cè)藬?shù)和[30，35）這組的參加者人數(shù)N₁．
（2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，分別求出P（B），P（C），由此能求出兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率．
（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵年齡在[35，40）內(nèi)的頻率為0.04×5=0.2，
∴總?cè)藬?shù)N=$\frac{8}{0.2}$=40人．
∵[30，35）這組的頻率為：1-（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，
[30，35）這組的參加者人數(shù)N₁為：40×0.3=12人．
（2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有2名數(shù)學(xué)教師”，
∵年齡在[30，35）之間的人數(shù)為12，
∴P（B）=1-$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{7}{22}$，
記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，
∵年齡在[35，40）之間的人數(shù)為8，
∴P（C）=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$，
∴兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率P（BC）=$\frac{7}{22}×\frac{13}{28}$=$\frac{13}{88}$．
（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，
∴ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率公式的合理運用．