Question

14．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：$\frac{a+1}$+$\frac{b+1}{a}$+2=$\frac{2}{ab}$的充要條件是a+b=1．

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別證明充分性和必要性成立即可．

解答 證明：必要性：若$\frac{a+1}$+$\frac{b+1}{a}$+2=$\frac{2}{ab}$，
則$\frac{a（a+1）+b（b+1）+2ab}{ab}$=$\frac{2}{ab}$，
即a²+a+b²+b+2ab=2，
即（a+b）²+（a+b）-2=0，
即（a+b-1）（a+b+2）=0，
∵a，b是正實(shí)數(shù)，
∴a+b+2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1，
充分性：若a+b=1，則$\frac{a+1}$+$\frac{b+1}{a}$+2=$\frac{a（a+1）+b（b+1）+2ab}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab+（a+b）}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}+（a+b）}{ab}$=$\frac{1+1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$，
故$\frac{a+1}$+$\frac{b+1}{a}$+2=$\frac{2}{ab}$的充要條件是a+b=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充要條件的證明，根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性是解決本題的關(guān)鍵．