Question

5．將邊長為1的正方形AA₁O₁O（及其內(nèi)部）繞OO₁旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，$\widehat{AC}$長為$\frac{2}{3}$π，$\widehat{A1B1}$長為$\frac{π}{3}$，其中B₁與C在平面AA₁O₁O的同側(cè)．
（1）求三棱錐C-O₁A₁B₁的體積；
（2）求異面直線B₁C與AA₁所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)O₁B₁，推導(dǎo)出△O₁A₁B₁為正三角形，從而${S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由此能求出三棱錐C-O₁A₁B₁的體積．
（2）設(shè)點(diǎn)B₁在下底面圓周的射影為B，連結(jié)BB₁，則BB₁∥AA₁，∠BB₁C為直線B₁C與AA₁所成角（或補(bǔ)角），由此能求出直線B₁C與AA₁所成角大小．

解答 解：（1）連結(jié)O₁B₁，則∠O₁A₁B₁=∠A₁O₁B₁=$\frac{π}{3}$，
∴△O₁A₁B₁為正三角形，
∴${S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
${V}_{C-{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×O{O}_{1}×{S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（2）設(shè)點(diǎn)B₁在下底面圓周的射影為B，連結(jié)BB₁，則BB₁∥AA₁，
∴∠BB₁C為直線B₁C與AA₁所成角（或補(bǔ)角），
BB₁=AA₁=1，
連結(jié)BC、BO、OC，
∠AOB=∠A₁O₁B₁=$\frac{π}{3}$，$∠AOC=\frac{2π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{π}{3}$，
∴△BOC為正三角形，
∴BC=BO=1，∴tan∠BB₁C=1，
∴直線B₁C與AA₁所成角大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查兩直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．