Question

4．已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S．
（1）已知2∈S，試求出S中的其它所有元素；
（2）若{3，-3}⊆S，求使元素個(gè)數(shù)最少的集合S；
（3）若非空集合S為有限集，則你對(duì)集合S的元素個(gè)數(shù)有何猜測(cè)？并請(qǐng)證明你的猜測(cè)正確．

Answer 1

分析 （1）由2∈S，能推導(dǎo)出S中的其它所有元素為-1，$\frac{1}{2}$．
（2）3∈S，推導(dǎo)出現(xiàn)-$\frac{1}{2}$∈S，$\frac{2}{3}$∈S，由-3∈S，推導(dǎo)出$\frac{1}{4}$∈S，$\frac{4}{3}$∈S，由此能示出使{3，-3}?S的元素個(gè)數(shù)最少的集合S．
（3）設(shè)a∈S，則{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}?S，若b∈S，而b∉{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，則{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}?S，且{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}=∅，若b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$中有元素∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，則{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}?S，由此能證明S的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)．

解答 解：（1）∵2∈S，∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$∈S．
∴S中的其它所有元素為-1，$\frac{1}{2}$．
（2）3∈S，$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$∈S，
$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}=\frac{2}{3}∈S$，$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3∈S，
-3∈S，$\frac{1}{1-（-3）}$=$\frac{1}{4}∈S$，$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}∈S$，
$\frac{1}{1-\frac{4}{3}}$=-3∈S，
∴使{3，-3}?S的元素個(gè)數(shù)最少的集合S為{-3，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，3}．
（3）設(shè)a∈S，則a≠0，1且a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈S（*）
由于a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0（a≠1），但a²-a+1=0無實(shí)數(shù)根
故a≠$\frac{1}{1-a}$，同理$\frac{1}{1-a}≠\frac{a-1}{a}$，$\frac{a-1}{a}≠a$，∴{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}?S，
若存在b∈S，而b∉{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，則{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}?S，且{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}=∅，
若b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$中有元素∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，
則利用前述的（*）式可知b∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}
于是{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}?S，
上述推理還可繼續(xù)，由于S為有限集，故上述推理有限步可中止
∴S的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合元素的求法，考查集合中元素個(gè)數(shù)的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意集合中元素性質(zhì)的合理運(yùn)用．