Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0）的解集為[-7，-1]
（1）求m的值；
（2）已知a＞0，b＞0，且2a²+b²=3m，求2a$\sqrt{1+^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）解絕對值不等式求得它的解集為[-4-3m，3m-4]，再根據(jù)它的解集為[-7，-1]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-4-3m=-7}\\{3m-4=-1}\end{array}\right.$，從而求得 m的值．
（2）根據(jù)2a$\sqrt{1+^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0），即|x+4|≤3m，即-3m≤x+4≤3m，
即-4-3m≤x≤3m-4，即不等式的解集為[-4-3m，3m-4]．
再根據(jù)它的解集為[-7，-1]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-4-3m=-7}\\{3m-4=-1}\end{array}\right.$，∴m=1．
（2）已知a＞0，b＞0，且2a²+b²=3m=3，∴2a$\sqrt{1+^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$≤$\sqrt{2}$•$\frac{{2a}^{2}+1{+b}^{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{2}$a=$\sqrt{1{+b}^{2}}$ 時，即a=b=1時，等號成立，故2a$\sqrt{1+^{2}}$的最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．