已知函數(shù)f(x)=ekx(k是不為零的實(shí)數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線y=f(x)與y=x2有公共點(diǎn),且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線,求k的值;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求此時(shí)k的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),再代入兩個(gè)解析式建立方程①,再由在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值相等列出方程②,聯(lián)立方程求解;
(2)由題意求出h(x)解析式,再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)區(qū)間關(guān)系求出k的范圍,再對(duì)k分類:k<-1時(shí)和0<k<1時(shí),再由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,分別列出等價(jià)條件,求出k的范圍,最后并在一起.
解答:解:(1)設(shè)曲線y=f(x)與y=x2有共同切線的公共點(diǎn)為P(x,y),
          ①,
又∵y=f(x)與y=x2在點(diǎn)P(x,y)處有共同切線,
且f′(x)=kekx,(x2)′=2x,
     ②,
由①②解得,.                   
(2)由f(x)=ekx得,函數(shù)h(x)=(x2-2kx-2)ekx,
∴(h(x))′=[kx2+(2-2k2)x-4k]ekx
==.              
又由區(qū)間知,,
解得0<k<1,或k<-1.             
①當(dāng)0<k<1時(shí),
由(h(x))'=,得
即函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為,
要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
則有,解得.                                 
②當(dāng)k<-1時(shí),
由(h(x))'=,得x<2k或
即函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,2k)和,
要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
則有,或,
這兩個(gè)不等式組均無解.
綜上,當(dāng)時(shí),
函數(shù)h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.
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