Question

16、如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F(xiàn)，G分別為線段AC₁，A₁C₁，BB₁的中點(diǎn)，求證：
（1）平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）EF∥面BCC₁B₁；
（3）GF⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析：（1）由BC⊥AB和BC⊥BC₁即可推得平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）先利用條件推得EF∥AA₁，再利用BB₁∥AA₁即可得到EF∥BB₁?EF∥面BCC₁B₁；
（3）先證明FG⊥AC₁，再利用條件BC⊥面ABC₁推出FG⊥B₁C₁，即可得到GF⊥平面AB₁C₁．

解答：證明：（1）
∵BC⊥AB
BC⊥BC₁
AB∩BC₁=B
∴平面ABC⊥平面ABC₁（4分）

（2）∵AE=EC₁，A₁F=FG，∴EF∥AA₁∵BB₁∥AA₁
∴EF∥BB₁∵EF?BCC₁B₁∴EF∥面BCC₁B₁；

（3）連接EB，則四邊形EFGB為平行四邊形
∵EB⊥AC₁
∴FG⊥AC₁
∵BC⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥BE
∴FG⊥B₁C₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
所以：GF⊥平面AB₁C₁

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)以及線面垂直的判定．在證明線面平行時(shí)，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來(lái)推導(dǎo)線面平行．