Question

定義：若函數(shù)f（x）對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x₀，有f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=2，b=7時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）若對任意的實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動點，且A、B的中點C在函數(shù)g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的圖象上，求b的最小值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=2，b=7代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，即方程ax²+bx+b-1=0恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）＞0即b²-4ab+4a＞0對任意的b∈R恒成立，
故△'=16a²-16a＜0，故0＜a＜1；
（3）先設(shè)出兩點的坐標(biāo)分別為A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），又AB的中點C在函數(shù)在函數(shù)g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的圖象上，
所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，即x1+x2=

a

5a2-4a+1

，而x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的兩個根，所以x1+x2=-

b

a

至此題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)，至此，求參數(shù)b的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題．

解答： 解：（1）f（x）=2x²+8x+6=x，解得x=-2或x=-

3

2

．所以所求的不動點為-2或-

3

2

．
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，即方程ax²+bx+b-1=0恒有兩個不等實根，
所以△=b²-4a（b-1）＞0即b²-4ab+4a＞0對任意的b∈R恒成立，
故△'=16a²-16a＜0，故0＜a＜1
（3）設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）x₁≠x₂，
又AB的中點C在函數(shù)在函數(shù)g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的圖象上，
所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，即x1+x2=

a

5a2-4a+1

而x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的兩個根，所以x1+x2=-

b

a

即-

b

a

=

a

5a2-4a+1

所以b=-

a2

5a2-4a+1

=-

1

( 1 a )2-4( 1 a )+5

=-

1

( 1 a -2)2+1

由（2）知：0＜a＜1
則當(dāng)

1

a

=2，即a=

1

2

時b_min=-1

點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識，同時考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識．