Question

4．某單位實(shí)行休年假制度三年以來，10名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

休假次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	1	2	4	3

根據(jù)上表信息解答以下問題：
（1）從該單位任選兩名職工，用η表示這兩人休年假次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²-ηx-1過（0，-1）點(diǎn)，在區(qū)間（4，6）上有且只有一個零點(diǎn)，推出η=4或η=5，然后求解概率即可．　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ηx-1過（0，-1）點(diǎn)，在區(qū)間（4，6）上有且只有一個零點(diǎn)，
則必有$\left\{\begin{array}{l}{f（4）＜0}\\{f（6）＞0}\end{array}\right.$即：$\left\{\begin{array}{l}{16-4η-1＜0}\\{36-6η-1＞0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{15}{4}＜η＜\frac{35}{6}$
所以，η=4或η=5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（3分）
當(dāng)η=4時，P₁=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，當(dāng)η=5時，${P_2}=\frac{C_4^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{15}$
η=4與η=5為互斥事件，由互斥事件有一個發(fā)生的概率公式
所以　$P={P_1}+{P_2}=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}$…（6分）
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，
則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，…（7分）
于是$P（{ξ=0}）=\frac{C_2^2+C_4^2+C_3^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_2^1+C_2^1C_4^1+C_4^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{22}{45}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{C_4^1+C_2^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$　　…（10分）
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{22}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{15}$

ξ的數(shù)學(xué)期望：$Eξ=0×\frac{2}{9}+1×\frac{22}{45}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{15}=\frac{17}{15}$．   　…12

點(diǎn)評 本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列的期望的求法，函數(shù)的零點(diǎn)判判斷定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．