Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1處取得極值，且在點（1，f（1））處的切線的斜率為2． （Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數(shù)f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1處取得極值， ∴f'（﹣1）=3a﹣2b+2=0
又∵在點（1，f（1）處的切線的斜率為2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=﹣ ，b=
0在（1，2）內(nèi)有根．（
（II）由（I）得方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0可化為：

令g（x）=
則g'（x）=2x2﹣3x+1
∵當x∈[ ，1]時，g'（x）≤0，當x∈[1，2]時，g'（x）≥0，
故g（x）= 在[ ，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
若關(guān)于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
則
解得：
【解析】（I）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1處取得極值，且在點（1，f（1）處的切線的斜率為2．我們易得f'（﹣1）=0，f'（1）=2，由此構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可得到答案．（II）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易化簡關(guān)于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）= 分析函數(shù)的單調(diào)性后，我們可將關(guān)于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為不等式問題，解關(guān)于m的不等式組，即可求出實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值的理解，了解極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況．