Question

（本題滿分15分）過點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，圓

（Ⅰ）若拋物線在點(diǎn)處的切線恰好與圓相切，求直線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)分別作圓的切線，試求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）直線的方程為：.（Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】本試題主要是考查了直線與拋物線于圓與直線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及勾股定理的綜合運(yùn)用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線方程，以及直線與圓相切，則圓心到直線的距離為圓的半徑可以得到結(jié)論。

(2)設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合

和韋達(dá)定理得到坐標(biāo)關(guān)系，然后求解取值范圍。

解：設(shè)

由，得過點(diǎn)的切線方程為：

，即                    （3分）

由已知：，又，                            （5分）

，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，                                         （6分）

直線的方程為：.                                   （7分）

（Ⅱ）由已知，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為：，       （8分）

聯(lián)立，得 

                                            （9分）

  解法一： （12分）

                                                                 （13分）

＝               （15分）

解法二：      （12分）

                                   （13分）

                                                       （15分）

解法三：, 

         

同理，                                      （13分）

故的取值范圍是.                      （15分）