Question

函數(shù)f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）（x∈R）．
（1）求f（x）的周期；
（2）若f（α）=

2 10

5

，α∈（0，

π

2

），求tan（α+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式和兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，由周期公式T=

2π

|ω|

求出函數(shù)的周期；
（2）利用f（a）=

2 10

5

列出方程，由方程的特點兩邊平方后，根據(jù)角的范圍求出sinα，再由平方關系求出它的余弦值，由商的關系求出它的正切值，利用兩角和的正切公式求出tan（α+

π

4

）的值．

解答：解：（1）由題意知，f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=sin

x

2

+cos

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π（4分）
（2）由f（a）=

2 10

5

代入解析式得，sin

α

2

+cos

α

2

=

2 10

5

，
兩邊平方得：1+sinα=

8

5

，則sinα=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

1-sin2α

=

1- 9 25

=

4

5

，（8分）
∴tanα=

sinα

cosα

=

3

4

，
∴tan(α+

π

4

)=

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=

3 4 +1

1- 3 4

=7（12分）

點評：本題主要考查了三角的恒等變換，利用同角的三角函數(shù)基本關系、兩角和差的正弦（正切公式）等等，對解析式或式子進行化簡，再根據(jù)角的范圍和已知條件求值．