Question

（2013•烏魯木齊一模）已知點F（ 1，0），⊙F與直線4x+3y+1=0相切，動圓M與⊙F及y軸都相切．
（I ）求點M的軌跡C的方程；
（II）過點F任作直線l，交曲線C于A，B兩點，由點A，B分別向⊙F各引一條切線，切點 分別為P，Q，記α=∠PAF，β=∠QBF．求證sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點到直線的距離公式及切線的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到⊙F的方程；動圓M與⊙F及y軸都相切分切點不是原點、切點是原點兩種情況分別求出即可：
（Ⅱ）對直線l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義即可得出．

解答：解：（Ⅰ）⊙F的半徑r

|4+1|

42+32

=1，∴⊙F的方程為（x-1）²+y²=1，
由題意動圓M與⊙F及y軸都相切，分以下情況：
（1）動圓M與⊙F及y軸都相切，但切點不是原點的情況：
作MH⊥y軸于H，則|MF|-1=|MH|，即|MF|=|MH|+1，
過M作直線x=-1的垂線MN，N為垂足，
則|MF|=|MN|，
∴點M的軌跡是以F為焦點，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（2）動圓M與⊙F及y軸都相切且僅切于原點的情況：
此時點M的軌跡C的方程為y=0（x≠0，1）；             
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中（1）的情況：
當(dāng)l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=2k2+4，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
當(dāng)l與x軸垂直時，也可得sinα+sinβ=1，
對于（Ⅰ）中（2）的情況不符合題意（即作直線l，交C于一個點或無數(shù)個點，而非兩個交點）．
綜上，有sinα+sinβ=1．

點評：熟練掌握點到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的性質(zhì)、分類討論的思想方法、直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．