Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：

①對(duì)于任意的，都有；

②當(dāng)時(shí)，，且．

(1)求，的值，并判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）為偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）2.

【解析】

（1）先求f（﹣1）的值，令y=﹣1，推出f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），f（﹣x）=f（x）．結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，直接判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；

（3）通過（1），（2）奇偶性，單調(diào)性，直接求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值；

（1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；

再令x=y=﹣1，則f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）=0．

對(duì)于條件f（xy）=f（x）+f（y），令y=﹣1，

則f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）=f（x）．

又函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則有．

又∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，

∴f（）＞0

而＞f（x1），

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，

∴f（4）=2．

又由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣4，0）∪（0，4]上是偶函數(shù)且在（0，4]上是增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值為f（4）=f（﹣4）=2．