Question

已知f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）．
（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈（

π

2

，

3π

4

）且f（x）=-1，求tan2x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，得f（x）=-3

2

sin（x+

π

4

）+1，然后，在給定范圍內(nèi)求解其單調(diào)減區(qū)間即可；
（2）根據(jù)f（x）=-1，得到sinx+cosx=

2

3

，然后，求解sin2x=-

5

9

，cos2x=-

1-sin2x

=-

2 14

9

，從而求得結果．

解答： 解：f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）．
=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx
=-3（sinx+cosx）+1
=-3

2

sin（x+

π

4

）+1
∴f（x）=-3

2

sin（x+

π

4

）+1，
（1）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，
∵x∈[2π，3π]，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[2π，

9π

4

]，
（2）∵x∈（

π

2

，

3π

4

）且f（x）=-1，
∴-3（sinx+cosx）+1=-1，
∴sinx+cosx=

2

3

，
∴1+sin2x=

4

9

，
∴sin2x=-

5

9

，
cos2x=-

1-sin22x

=-

2 14

9

，
∴tan2x=

sin2x

cos2x

=

- 5 9

- 2 14 9

=

5 14

28

．

點評：本題重點考查三角公式、輔助角公式、三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．