【題目】如圖，在四棱柱中，平面，底面是矩形，，，，為棱的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，算出和平面的法向量的坐標(biāo)，然后向量夾角公式可算出答案；

（2）算出平面的法向量的坐標(biāo)，然后利用向量夾角公式可算出答案.

由題意知，四棱柱是直四棱柱，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，，

，.

（1）設(shè)平面的法向量為，

所以即

令，則，所以為平面的一個法向量，

故，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）設(shè)平面的法向量為，

則即

令，則，所以為平面的一個法向量.

故，

由圖象可知，二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，ACDGEF，且.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，，

（1）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）若在上有且只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，若在處的切線為．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)其中，證明：

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【題目】如圖，在三棱柱中，，D，E分別是的中點(diǎn).

（1）求證：DE∥平面

（2）若，求證：平面平面.

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【題目】已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足條件：①；②；若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列的“關(guān)聯(lián)數(shù)列.

（1）數(shù)列1，5，9，13，17是否存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”？若存在，寫出其“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，若不存在，請說明理由；

（2）若數(shù)列存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：；

（3）已知數(shù)列存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，求數(shù)列項(xiàng)數(shù)m的最小值與最大值.

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【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

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【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，，，圓臺的側(cè)面積為.若點(diǎn)C，D分別為圓，上的動點(diǎn)且點(diǎn)C，D在平面的同側(cè).

（1）求證：；

（2）若，則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，求多面體的體積.

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【題目】已知是軸上的動點(diǎn)（異于原點(diǎn)），點(diǎn)在圓上，且.設(shè)線段的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)移動時，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）直線平行，交曲線于不同的兩點(diǎn)、.線段的中點(diǎn)為，直線與曲線交于兩點(diǎn)、，證明：.

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