Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不為0的常數(shù)，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，（2+c）²=2（2+3c）可求c，代入可得a_n+1=a_n+2n，利用疊加可求通項
（2）由b_n===，考慮利用錯位相減可求和
解答：解：（1）由已知可知a₂=2+c，a₃=2+3c（1分）
則（2+c）²=2（2+3c）
∴c=2
從而有a_n+1=a_n+2n（2分）
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+a₃-a₂+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×1+2×2+…+2n=n²-n+2（4分）
當n=1時，a₁=2適合上式，因而a_n=n²-n+2（5分）
（2）∵b_n===（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=
=
相減可得，==（9分）
∴（10分）
點評：本題主要考查了利用疊加法求解數(shù)列的通項公式，而錯位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的重點和難點，要注意掌握