Question

5．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，拋物線${C_2}：{y^2}=4x$，C₁與C₂有公共的焦點(diǎn)F，C₁與C₂在第一象限的公共點(diǎn)為M，直線MF的傾斜角為θ，且$cosθ=\frac{1-2a}{3-2a}$，則關(guān)于雙曲線的離心率的說法正確的是（　　）

• A． 僅有兩個不同的離心率e₁，e₂且e₁∈（1，2），e₂∈（4，6）
• B． 僅有兩個不同的離心率e₁，e₂且e₁∈（2，3），e₂∈（4，6）
• C． 僅有一個離心率e且e∈（2，3）
• D． 僅有一個離心率e且e∈（3，4）

Answer 1

分析 由傾斜角的范圍可得cosθ∈（-1，1），求得0＜a＜1，求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)M（m，n），m＞0．可得|MF|，由雙曲線的第二定義可得|MF|=em-a，求得m，再在△MFF'中運(yùn)用余弦定理，化簡整理，可得a的方程，解方程即可得到a的值，進(jìn)而得到離心率．

解答 解：直線MF的傾斜角為θ，
可得cosθ∈（-1，1]，
由題意可得cosθ∈（-1，1），
由$cosθ=\frac{1-2a}{3-2a}$，
可得|$\frac{1-2a}{3-2a}$|＜1，
解得0＜a＜1，
由題意可得F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，即c=1，
設(shè)M（m，n），m＞0．
由拋物線的定義可得|MF|=m+1，
由雙曲線的第二定義可得，|MF|=em-a=$\frac{m}{a}$-a，
求得m=$\frac{a（1+a）}{1-a}$，
m+1=$\frac{1+{a}^{2}}{1-a}$，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，
由雙曲線的第一定義可得|MF'|=2a+m+1，
在△MFF'中，可得-cosθ=$\frac{4+（m+1）^{2}-（2a+m+1）^{2}}{4（m+1）}$=$\frac{1-{a}^{2}}{1+m}$-a=-$\frac{1-2a}{3-2a}$，
$\frac{（1-a）（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$=$\frac{-2{a}^{2}+5a-1}{3-2a}$，
即有a²-5a+2=0，
解得a=$\frac{5±\sqrt{17}}{2}$（舍去大于1的數(shù)），
可得a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{5-\sqrt{17}}$=$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$∈（2，3）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和定義、雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．