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5.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,ABAC=-3.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)求sin(C+\frac{π}{4})的值.

分析 (1)由題意利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求cosA的值,結(jié)合A∈(0,π),利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得A的值,進(jìn)而利用余弦定理可求BC的值.
(2)解法一:由正弦定理可求sinC的值,利用大邊對(duì)大角,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值,進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.
解法二:由正弦定理可求sinC的值,再由余弦定理求得cosC的值,進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)∵\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=AB•CA•(-cosA)=2×3•(-cosA)=-3,
cosA=\frac{1}{2}
又∵A∈(0,π),
A=\frac{π}{3},…(2分)
由余弦定理得BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}-2AB•ACcos\frac{π}{3}}…(4分)
=\sqrt{7}…(6分)
(2)解法一:由正弦定理得\frac{BC}{{sin{{60}°}}}=\frac{AB}{sinC},即sinC=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}.…(8分)
因?yàn)锳B<BC所以C<A即角C為銳角,…(10分)
所以cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7},…(11分)
所以sin(C+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinC+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}(sinC+cosC)…(12分)
=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×(\frac{{\sqrt{21}}}{7}+\frac{{2\sqrt{7}}}{7})=\frac{{\sqrt{42}+2\sqrt{14}}}{14}.…(14分)
解法二:由正弦定理得\frac{BC}{{sin{{60}°}}}=\frac{AB}{sinC}sinC=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7},…(8分)
再由余弦定理得\begin{array}{l}cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2•AC•BC}=\frac{{{3^2}+{{(\sqrt{7})}^2}-{2^2}}}{{2×3×\sqrt{7}}}\end{array}…(10分)
=\frac{{2\sqrt{7}}}{7},…(11分)
所以sin(C+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinC+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}(sinC+cosC)…(12分)
=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×(\frac{{\sqrt{21}}}{7}+\frac{{2\sqrt{7}}}{7})=\frac{{\sqrt{42}+2\sqrt{14}}}{14}.…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,特殊角的三角函數(shù)值,余弦定理,正弦定理,大邊對(duì)大角,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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