Question

【題目】某省組織了一次高考模擬考試，該省教育部門抽取了1000名考生的數(shù)學考試成績，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求樣本中數(shù)學成績在95分以上（含95分）的學生人數(shù)；
（Ⅱ）已知本次模擬考試全省考生的數(shù)學成績X～N（μ，σ2），其中μ近似為樣本的平均數(shù)，σ2近似為樣本方差，試估計該省的所有考生中數(shù)學成績介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以頻率估計概率，若從該省所有考生中隨機抽取4人，記這4人中成績在[105，125）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
參考數(shù)據(jù)： ≈18.9， ≈19.1， ≈19.4．
若Z∽N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，成績在95分以下（不含95分）的頻率為： （0.002+0.008+0.014+0.015）×10=0.39，
∴樣本中數(shù)學成績在95分以上（含95分）的學生人數(shù)為：
1000×（1﹣0.39）=610．
（Ⅱ）∵ =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
S2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+0×0.24+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366．
∴X～N（100，366），故p（100＜x＜138.2）= =0.4772．
（Ⅲ）依題意，成績在[105，125）內(nèi)的頻率是0.25，故X～B（4， ），
P（X=0）=（ ）4= ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）=（ ）4= ，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

∵X～B（4， ），∴E（X）=4× =1
【解】（Ⅰ）先求出成績在95分以下（不含95分）的頻率，由此能求出樣本中數(shù)學成績在95分以上（含95分）的學生人數(shù)．（Ⅱ）先分別求出 ，S2 ， 從而X～N（100，366），由此能求出p（100＜x＜138.2）的值．（Ⅲ）成績在[105，125）內(nèi)的頻率是0.25，故X～B（4， ），由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關(guān)知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．