Question

如圖1，已知梯形ABCD，AB∥CD，且CD=2AB，E是CD邊上的中點，線段AE與BD交于點F．將△ADE沿AE翻折到△AD′E位置，連接D′B和D′C（如圖2）．

（Ⅰ）直線BC上是否存在一點G，使EG∥平面BD′F，并說明理由；
（Ⅱ）若AD=BC=AB=2，平面AD′E⊥平面ABCE，求三棱錐C-BD′E的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定，取BC的中點G，E為DC中點，∴EG∥BD，即EG∥BF．∴EG∥平面BD'F．
（Ⅱ）進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，V_C-BD′E=V_D'-BCE．

解答： 解：（Ⅰ）存在，∵在圖1中，取BC的中點G，E為DC中點，
∴EG∥BD，即EG∥BF．
∵EG?平面BD'F，BF?平面BD'F，
∴EG∥平面BD'F．
（Ⅱ）在圖1中，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形．
∵AB=AD=2，
∴平行四邊形ABED為菱形，
∴BD⊥AE，即D'F⊥AE，
∵平面AD'E⊥平面ABCE，且平面AD'E∩平面ABCE=AE，
∴D'F⊥平面ABCE．
∵BC=CE=BE=2，
∴S△BCE=

3

4

×22=

3

．
∴V_D'-BCE=

1

3

•S△BCE•D′F=

1

3

×

3

×

3

=1．
V_C-BD′E=V_D'-BCE=1

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行判定，（2）的關(guān)鍵是判斷出棱錐的高和底面面積，進(jìn)行相應(yīng)的等積轉(zhuǎn)化．