已知函數(shù)f（x）=
1
x2
+
4
1-x2
（-1＜x＜1，且x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若|t+1|≤f（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
考點：柯西不等式
專題：計算題,不等式的解法及應用
分析：（Ⅰ）由柯西不等式f（x）=
1
x2
+
4
1-x2
=[x2+（1-x2）]（
1
x2
+
4
1-x2
）≥[x•
1
x
+
1-x2
•
2
1-x2
]2=9，即可得到最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|t+1|≤f（x）恒成立即為|t+1|不大于f（x）的最小值為9，解得即可得到t的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）因為-1＜x＜1，且x≠0，所以1-x2＞0，
由柯西不等式f（x）=
1
x2
+
4
1-x2
=[x2+（1-x2）]（
1
x2
+
4
1-x2
）

≥[x•
1
x
+
1-x2
•
2
1-x2
]2=9，
當且僅當
x
1
x
=
1-x2
2
1-x2
，即x=±
3
3
時取等號，
∴f（x）的最小值為9．                       
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值為9，
由題意可得|t+1|≤9，則-10≤t≤8，
則實數(shù)t的取值范圍為[-10，8]．
點評：本題考查柯西不等式的運用：求最值，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在矩形ABCD中，AB=1，AD=
3
，P為矩形內一點，且AP=
3
2
．若
AP
=λ
AB
+μ
AD
（λ，μ∈R），則λ+
3
μ的最大值為（　�。�
A、
3
2
B、
6
2
C、
3+
3
4
D、
6
+3
2
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
2sinx-1
+ln（tanx）的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

與函數(shù)y=x有相同圖象的一個函數(shù)是（　�。�
A、y=
x2
B、y=（
x
）2
C、y=logaax（a＞o，a≠1）
D、y=
x2
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A1，A2，…，Am-1（m≥2）為區(qū)間[0，1]上的m等分點，直線x=0，x=1，y=0和曲線y=ex所圍成的區(qū)域為Ω1，圖中m個矩形構成的陰影區(qū)域為Ω2，在Ω1中任取一點，則該點取自Ω2的概率等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以y=±x為漸近線且經過點（2，0）的雙曲線方程為（　�。�
A、
x2
2
-
y2
2
=1
B、
x2
4
-
y2
4
=1
C、
y2
4
-
x2
4
=1
D、
x2
8
-
y2
16
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列有關函數(shù)f（x）=x+
4
x
的結論：
（1）f（x）的圖象關于原點對稱；
（2）f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（3）f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為5；
（4）f（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）
其中正確的有
 
 （填入所有正確結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a+b的取值范圍是（　�。�
A、[-1，1]
B、[-
1
3
，0]
C、[0，
4
3
]
D、[0，2]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={t|2-a＜t＜2+a，a＞0}，B表示使方程
x2
2t-1
+
y2
2t+7
=1為雙曲線的實數(shù)t的集合．
（1）當a=3時，判斷“t∈A”是“t∈B”的什么條件？
（2）若“t∈A”是“t∈B”的必要不充分條件，求a的取值范圍．

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