Question

下列有關(guān)函數(shù)f（x）=x+

4

x

的結(jié)論：
（1）f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
（2）f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（3）f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為5；
（4）f（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）
其中正確的有

 

 （填入所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于（1）要證f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，只要證明f（x）是奇函數(shù)即可．
對于（2）根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義在[2，+∞）任取兩點x₁，x₂，作差比較函數(shù)值的大小即可．也可以利用導(dǎo)數(shù)證明導(dǎo)數(shù)恒大于0即可．
對于（3），由于滿足基本不等式的條件，利用基本不等式請求最小值即可．
對于（4），函數(shù)定義域是x≠0，在x＜0和x＞0兩種情形分別求最大值和最小值即可．

解答： 解：對于（1）結(jié)論是正確的．∵f（x）=x+

4

x

，∴f（-x）=-（x+

4

x

）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，故關(guān)于原點對稱．
對于（2）結(jié)論是正確的．∵f′（x）=1-

4

x2

，令f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥2，∴f（x）在[2，+∞）是遞增函數(shù)．
對于（3）結(jié)論是不正確的．，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，∴f（x）的最小值是4．
對于（4）結(jié)論是正確的．當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）的值域是[4，+∞），x∈（-∞，0）時，∵（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）的值域是（-∞，-4]，故f（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）
故答案為：（1）（2）（4）

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)區(qū)間，值域，屬于基礎(chǔ)題．