Question

已知增函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，其中b∈R，a為正整數(shù)，且滿足f（2）＜

4

5

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求滿足f（t²-2t）+f（t）＜0的t的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，求得b=0；再由f（2）=

2a

1+4

＜

4

5

，a 為整數(shù)，求得a=1，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 f（t²-2t）＜f（-t），再根據(jù)f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

在（-1，1）上是增函數(shù)，可得-1＜t²-2t＜t＜1，由此求得t的范圍．

解答： 解：（1）由f（0）=0，求得b=0，
∴f（x）=

ax

1+x2

．
再由f（2）=

2a

1+4

＜

4

5

，求得a＜2，再根據(jù)a 為整數(shù)，可得a=1，
故f（x）=

x

1+x2

，（-1＜x＜）．
（2）不等式即 f（t²-2t）＜-f（t）=f（-t），再根據(jù)f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

在（-1，1）上是增函數(shù)，
可得-1＜t²-2t＜t＜1，求得 0＜t＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．