如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過點(diǎn)B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點(diǎn)X，連接AX．求證：數(shù)學(xué)公式．

證明：設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A1，連接OB，OC，OA1．又M為BC的中點(diǎn)，
所以，連接OX，它過點(diǎn)M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB2=XM•XO．①
又由切割線定理得XB2=XA1•XA．②
由①，②得，
∴△XMA∽△XA1O，
∴．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴．
分析：設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A1，連接OB，OC，OA1．連接OX過點(diǎn)M，求得XB2=XM•XO．①；利用切割線定理求得XB2=XA1•XA．②；由①，②求證△XMA∽△XA1O，即可求證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、切線長定理、切割線定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，此題的關(guān)鍵是設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A1，連接OB，OC，OA1．又M為BC的中點(diǎn)，所以，連接OX，它過點(diǎn)M．然后利用切割線定理和相似三角形的性質(zhì)來求解的．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知銳角△ABC的邊BC的長為6，面積為12，PQ∥BC，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，四邊形RPQS為正方形（RS與A在PQ的異側(cè)），其邊長為x，正方形RPQS與△ABC的公共面積為y．
（1）當(dāng)正方形RPQS的邊RS恰好落在BC上時(shí)，求邊長x．
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（2）當(dāng)RS不落在BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍．（可以將圖形畫在備用的圖形中）
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（3）求y的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•裕華區(qū)二模）如圖①，將兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，使上面三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與下面三角板的直角頂點(diǎn)重合，并將上面的三角板繞著這個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)下面三角板的斜邊被分成三條線段時(shí)，我們來研究這三條線段之間的關(guān)系．
（1）實(shí)驗(yàn)與操作：
如圖②，如果上面三角板的一條直角邊旋轉(zhuǎn)到CM的位置時(shí)，它的斜邊恰好旋轉(zhuǎn)到CN的位置，請?jiān)诰W(wǎng)格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長的正方形，觀察這三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系；
（2）猜想與探究：
如圖③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB邊上的點(diǎn)，∠MCN=45°，作DA⊥AB于點(diǎn)A，截取DA=NB，并連接DC、DM．
我們來證明線段CD與線段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于點(diǎn)A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

請你繼續(xù)解答：
①線段MD與線段MN相等嗎？為什么？
②線段AM、MN、NB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，為什么？
（3）拓廣與運(yùn)用：
如圖④，已知線段AB上任意一點(diǎn)M（AM＜MB），是否總能在線段MB上找到一點(diǎn)N，使得分別以AM與BN為邊長的正方形的面積的和等于以MN為邊長的正方形的面積？若能，請?jiān)趫D④中畫出點(diǎn)N的位置，并簡要說明作法；若不能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；
（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O（∠AOC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關(guān)系
∠AOC=∠BOD
∠AOC=∠BOD
；判斷的依據(jù)是
對頂角相等
對頂角相等
．
（2）過點(diǎn)O作射線OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數(shù)，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若∠AOD=120°，請計(jì)算∠COF的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O（∠AOC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關(guān)系______；判斷的依據(jù)是______．
（2）過點(diǎn)O作射線OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數(shù)，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若∠AOD=120°，請計(jì)算∠COF的度數(shù)．

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