Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為1的正△OAB的頂點(diǎn)A，B均在第一象限，設(shè)點(diǎn)A在x軸的射影為C，∠AOC=α．
（1）試將$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$表示α的函數(shù)f（α），并寫(xiě)出其定義域；
（2）求函數(shù)f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，用α表示出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$，求出$\overrightarrow{CB}$，
利用數(shù)量積個(gè)數(shù)計(jì)算f（α）并化簡(jiǎn)，寫(xiě)出α的取值范圍；
（2）根據(jù)α的取值范圍即可求出函數(shù)f（α）的值域．

解答 解：（1）根據(jù)題意，|$\overrightarrow{OA}$|=1，∠AOC=α，
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），
$\overrightarrow{OB}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
$\overrightarrow{OC}$=（cosα，0）；
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα，sin（α+$\frac{π}{3}$）），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$=cosα[cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα]+sinαsin（α+$\frac{π}{3}$）
=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-α]-cos²α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2α}{2}$
=-$\frac{1}{2}$cos2α，其中α∈（0，$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）知，f（α）=-$\frac{1}{2}$cos2α，
α∈（0，$\frac{π}{6}$）時(shí)，2α∈（0，$\frac{π}{3}$），
cos2α∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴-$\frac{1}{2}$cos2α∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴函數(shù)f（α）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．