Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）當a=1，b=-4時，求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，證明：b＞2；
（Ⅲ）當b=2時，解關于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解方程x²+3x-4=0，即可得到所求零點；
（Ⅱ）（方法1）由題意可得ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．考慮x=0，可得結論；
（方法2）由題意可得ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．討論當a=0時，當a≠0時，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，即可得證；
（Ⅲ）由題意可得（ax+1）（x+2）＜0，對a討論，當a＜0，a=0，當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，當$a=\frac{1}{2}$時，當$a＞\frac{1}{2}$時，運用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x²+3x-4=0，解得x=-4，或x=1．
所以函數(shù)f（x）有零點-4和1．
（Ⅱ）證明：（方法1）因為f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．
所以當x=0時上式也成立，代入得b＞2．
（方法2）因為f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．
當a=0時，顯然b＞2．
當a≠0時，
由題意，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，
則4a（b-2）＞4a²＞0，
所以4a（b-2）＞0，即b＞2．
綜上，b＞2．
（Ⅲ）由題意，得不等式ax²+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．
當a=0時，不等式化簡為x+2＜0，解得x＜-2；
當a≠0時，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x₁=-2，${x_2}=-\frac{1}{a}$．
所以，當a＜0時，不等式的解為：x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}$；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，不等式的解為：$-\frac{1}{a}＜x＜-2$；
當$a=\frac{1}{2}$時，不等式的解集為∅；
當$a＞\frac{1}{2}$時，不等式的解為：$-2＜x＜-\frac{1}{a}$．
綜上，當a＜0時，不等式的解集為{x|x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}\}$；
當a=0時，不等式的解集為{x|x＜-2}；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，不等式的解集為$\{x|-\frac{1}{a}＜x＜-2\}$；
當$a=\frac{1}{2}$時，不等式的解集為∅；
當$a＞\frac{1}{2}$時，不等式的解集為$\{x|-2＜x＜-\frac{1}{a}\}$．

點評 本題考查函數(shù)的零點的求法，注意運用方程思想，考查二次不等式恒成立問題的解法，注意結合二次函數(shù)的圖象和分類討論思想方法，考查二次不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．