Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l：kx-y+$\sqrt{2}$=0與圓C：x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k=±1．

Answer 1

分析 由題意，直線l：kx-y+$\sqrt{2}$=0與圓C：x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．點(diǎn)M在圓C上，
可得四邊形OAMB是銳角為60⁰的菱形．此時(shí)，點(diǎn)O到AB距離為1．即可求出k的值．

解答 解：由題意，直線l：kx-y+$\sqrt{2}$=0與圓C：x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．點(diǎn)M在圓C上，
可得：四邊形OAMB是銳角為60⁰的菱形．
∴OM=1．
即點(diǎn)O到AB距離為1．
由d=$\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=1，
解出：k=±1．
故答案為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷和運(yùn)用；利用$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．點(diǎn)M在圓C上，可得四邊形OAMB是銳角為60⁰的菱形是解決本題的關(guān)鍵．