19.設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=1,|$\overrightarrow{OB}$|=2,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$,且λ+μ=1,則$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范圍是(-$\sqrt{5}$,1].

分析 由條件求得|$\overrightarrow{OP}$|、$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的值,可得$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$,分類討論,求得$\frac{1}{x}$的范圍,可得x的范圍.

解答 解:∵|$\overrightarrow{OA}$|=1,|$\overrightarrow{OB}$|=2,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$,且λ+μ=1,
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{[λ\overrightarrow{OA}+(1-λ)\overrightarrow{OB}]}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+0+{4(1-λ)}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$,
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•[λ$\overrightarrow{OA}$+(1-λ)$\overrightarrow{OB}$]=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$+(1-λ)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$=λ.
設(shè)$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x,則 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=x•|$\overrightarrow{OP}$|=x•$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$=λ,
∴x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$.
當(dāng)λ=0時,x=0,當(dāng)λ>0時,$\frac{1}{x}$=$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=$\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1}$,故當(dāng)λ=1時,$\frac{1}{x}$取得最小值,為1,
即$\frac{1}{x}$≥1,∴0<x≤1.
當(dāng)λ<0時,$\frac{1}{x}$=-$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=-$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=-$\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1}$<-$\sqrt{4+1}$=-$\sqrt{5}$,即 $\frac{1}{x}$<-$\sqrt{5}$,
∴-$\sqrt{5}$<x<0.
綜上可得,x∈(-$\sqrt{5}$,1],
故答案為:(-$\sqrt{5}$,1].

點評 本題考點是向量在幾何中的應(yīng)用,綜合考查了向量的線性運算,向量的數(shù)量積的運算及數(shù)量積公式,熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵,是中檔題.

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