分析 由條件求得|$\overrightarrow{OP}$|、$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的值,可得$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$,分類討論,求得$\frac{1}{x}$的范圍,可得x的范圍.
解答 解:∵|$\overrightarrow{OA}$|=1,|$\overrightarrow{OB}$|=2,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$,且λ+μ=1,
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{[λ\overrightarrow{OA}+(1-λ)\overrightarrow{OB}]}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+0+{4(1-λ)}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$,
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•[λ$\overrightarrow{OA}$+(1-λ)$\overrightarrow{OB}$]=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$+(1-λ)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$=λ.
設(shè)$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x,則 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=x•|$\overrightarrow{OP}$|=x•$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$=λ,
∴x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$.
當(dāng)λ=0時,x=0,當(dāng)λ>0時,$\frac{1}{x}$=$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=$\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1}$,故當(dāng)λ=1時,$\frac{1}{x}$取得最小值,為1,
即$\frac{1}{x}$≥1,∴0<x≤1.
當(dāng)λ<0時,$\frac{1}{x}$=-$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=-$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=-$\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1}$<-$\sqrt{4+1}$=-$\sqrt{5}$,即 $\frac{1}{x}$<-$\sqrt{5}$,
∴-$\sqrt{5}$<x<0.
綜上可得,x∈(-$\sqrt{5}$,1],
故答案為:(-$\sqrt{5}$,1].
點評 本題考點是向量在幾何中的應(yīng)用,綜合考查了向量的線性運算,向量的數(shù)量積的運算及數(shù)量積公式,熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|0≤x≤1} | B. | {x|1<x<2} | C. | {x|0≤x<2} | D. | {x|0≤x≤1}∪{2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2π2a3 | B. | π2a3 | C. | $\frac{{π}^{2}}{2}$a3 | D. | $\frac{{π}^{2}}{3}$a3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年廣東清遠(yuǎn)三中高一上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為,若對任意,當(dāng)時,都有,則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù),且滿足以下三個條件:①;②;③.則( )
A. B. C. D.
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