Question

12．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求證：BD⊥平面ACC₁A₁
（2）求異面直線A₁C₁與BD所成的角．
（3）求三棱錐D₁-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，AA₁⊥BD即可得出BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）由BD⊥平面ACC₁A₁得出BD⊥A₁C₁，故異面直線A₁C₁與BD所成的角為90°；
（3）直接代入棱錐的體積公式計算．

解答 證明：（1）∵AB=AD，AB⊥AD，
∴四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
又AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
解：（2）BD⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥A₁C₁，
∴異面直線A₁C₁與BD所成的角為90°．
（3）V${\;}_{{D}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．