Question

某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，鋪設(shè)一個(gè)對(duì)角線在L上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，使A+C=180°，且AB=BC．設(shè)AB=x米，cos A=f（x）．
（1）求f（x）的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求y=

sinA

AB

的最大值，并指出相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）利用余弦定理，建立方程，解得cos A=

2

x

，即可求f（x）的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）表示出y=

sinA

AB

，利用基本不等式求出最大值，并指出相應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC．
因?yàn)椤螦和∠C互補(bǔ)，
所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA．…（4分）
即x²+（9-x）²-2x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2x（5-xcosA．
解得cosA=

2

x

，
即f（x）=

2

x

，其中x∈（2，5）…（7分）
(2)由(1)知，sinA=

1- 4 x2

，∴y=

1

x

1- 4 x2

x∈（2，5）…（9分）
∴y=

1

2

•

2

x

1- 4 x2

≤

1

2

•

4 x2 +(1- 4 x2 )

2

=

1

4

，…（11分）
當(dāng)

4

x2

=1-

4

x2

⇒x2=8⇒x=2

2

時(shí)，ymax=

1

4

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．