Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若a_n+1≥λT_n，對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意聯(lián)立方程組，由此求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）可得b_n=

1

anan+1

=

25

(2n-1)(2n+1)

=

25

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），T_n=

25

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

25

2

（1-

1

2n+1

）=

25n

2n+1

，
a_n+1≥λT_n，對(duì)任意正整數(shù)n都成立，即-

2n+1

5

≥λ•

25n

2n+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立，即λ≤-

4n2+4n+1

125n

，對(duì)任意正整數(shù)n都成立，令f（n）=-

4n2+4n+1

125n

，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）S₅=3a₅-2，所以5a₁+

5×4×d

2

=3（a₁+4d）-2．①
因?yàn)閍₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，所以a₁（a₁+4d）=(a1+d)2．②
由①，②及d≠0可得：a₁=1，d=2．
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵a_n+1≥λT_n，對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
即2n+1≥λ•

n

2n+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
即λ≤

4n2+4n+1

n

，對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
令f（n）=

4n2+4n+1

n

，則f^′（n）=8-

1

n2

＞0，
∴f（n）≥f（1）=9，
∴λ≤9．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．