Question

（理科做）（1）證明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證面APC⊥面BEF，只需要證明PC⊥面BEF，只需要證PC垂直于平面中的兩條相交直線；
（2）先作出平面PBC與平面PCD夾角，作DG⊥PC交PC于點(diǎn)G，取BC中點(diǎn)H，則GH⊥PC，∠HGD為二面角的平面角，從而可求．

解答：證明：

(理)(1)連接EP、EC，由題可知

BP=BC=2

2

，
∴BF⊥PC，又△PAE≌△CDE，∴EP=EC，
∴EF⊥PC，且EF∩BF=F，
故PC⊥面BEF，又PC?面APC，
∴面APC⊥面BEF；
（2）在△PCD中作DG⊥PC交PC于點(diǎn)G，則DG=

PD•CD

PC

=

2×2 3

4

=

3

，
又由DG²=CD•PG得CG=1，
∴點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，取BC中點(diǎn)H，
連接GH、HD，則GH\mathop∥limits=BF，GH=1，
∴GH⊥PC，∠HGD為二面角的平面角，
Rt△CDH中可得HD=

6

，
∴COS∠HGD=

3+1-6

2×1× 3

=-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，考查面面垂直，考查面面角，關(guān)鍵是面面角的尋找