Question

（理科做） 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明當(dāng)n=1時(shí)，等式成立．再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立；

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=

1

3

=右，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．