已知函數(shù)f(x)=
xex
(x＞0)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設P為函數(shù)f（x）圖象上的一點，以線段OP為母線繞x軸旋轉(zhuǎn)得到幾何體M，求幾何體M的體積的最大值．
（3）如果0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），試比較f（x2）與f（2-x1）的大�。�
分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）表示出幾何體M的體積，利用導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論；
（3）確定0＜x1＜1＜x2，2-x1＞1，分類討論，可得結(jié)論．
解答：解：（1）求導函數(shù)，可得f′(x)=
1-x
ex
(x＞0)
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）；
（2）幾何體M的體積V=
1
3
π•(
x
ex
)2•x=
πx3
3e2x
（x＞0）
∴V′=
πx2(9-x)
e2x

∴x∈（0，9）時，V′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈（9，+∞）時，V′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=9時，V取得最大值，最大值為
9π
e18
；
（3）∵0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），
∴0＜x1＜1＜x2，
∴2-x1＞1
若1＜x2＜2-x1，則f（x2）＞f（2-x1）；若x2＞2-x1＞1，則f（x2）＜f（2-x1）．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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