【題目】已知拋物線E:y2=8x,圓M:(x﹣2)2+y2=4,點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點(diǎn)Q(x0 , y0)(x0≥5)是曲線C上的點(diǎn),過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線,分別與x軸交于A,B兩點(diǎn),求△QAB面積的最小值.
【答案】
(1)解:設(shè)P(x,y),則點(diǎn)N(2x,2y)在拋物線E:y2=8x上,
∴4y2=16x,
∴曲線C的方程為y2=4x;
(2)解:設(shè)切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0).
令y=0,可得x= ,
圓心(2,0)到切線的距離d= =2,
整理可得 .
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,則k1+k2= ,k1k2= ,
∴△QAB面積S= |(x0﹣ )﹣(x0﹣ )|y0=2
設(shè)t=x0﹣1∈[4,+∞),則f(t)=2(t+ +2)在[4,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(t)≥ ,即△QAB面積的最小值為
【解析】(1)利用代入法,求曲線C的方程;(2)設(shè)切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0),圓心(2,0)到切線的距離d= =2,整理可得 ,表示出面積,利用函數(shù)的單調(diào)性球心最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知x1 , x2是函數(shù)f(x)=2sin2x+cos2x﹣m在[0, ]內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn),則sin(x1+x2)= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(α)=0,f'(α)>0,且f(x)在區(qū)間[α, +α)上沒有最小值,則ω取值范圍是( )
A.(0,2)
B.(0,3]
C.(2,3]
D.(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=30°,AC= ,D是邊AB上一點(diǎn).
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2,△ACD的面積為2,∠ACD為銳角,求BC的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(14分)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求實(shí)數(shù)b的值;
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)a=1時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m<M),使得對每一個(gè)t∈[m,M],直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足an>1,其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn=an2+3an+2
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ,且其前n項(xiàng)和為Tn , 證明: ≤Tn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),某地區(qū)植被覆蓋面積公頃與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)之間呈線性相關(guān)關(guān)系,對應(yīng)數(shù)據(jù)如下:
公頃 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
請用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
根據(jù)中所求線性回歸方程,如果植被覆蓋面積為300公頃,那么下降的氣溫大約是多少?
參考公式:線性回歸方程;其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,且軸.
(1)求的方程
(2)過的直線交于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).證明:直線的斜率成等差數(shù)列.
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