Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上不同于A、B的一點，∠BAC=45°，點V是圓O所在平面外一點，且VA=VB=VC，E是AC的中點.

（Ⅰ）求證：OE∥平面VBC；

（Ⅱ）求證：VO面ABC；

（Ⅲ）已知是平面VBC與平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°90°,若OA=OV=1，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：

 O,E分別是AB和AC的中點，   OE∥BC  .

又面VBC,  面VBC.

面VBC.

（Ⅱ）證明：

  VA=VB，∵ △ABC為等腰三角形，

     又 O為AB中點，∴ VO⊥AB;

    在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC, △VOA≌△VOC;

∴ ∠V0A=∠VOC=90^o.  ∴ VO⊥OC;-

     AB∩OC=O, AB平面ABC, OC平面ABC,

∴  VO⊥平面ABC. -

（Ⅲ）解：在圓O內(nèi)，OA=OC，∠CAO=45^o，所以CO⊥AO.

由（Ⅱ）VO⊥平面ABC，如圖，

建立空間直角坐標系.

 OA=OB=OC=OV=1,

∴ C(1,0, 0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(,0).

=(-1，-1，0), =(-1，0，1)

     設為平面VBC的法向量，則，

所以令，解得.

同理，求得平面VOE的法向量為.

    

=，

所以