Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，A為橢圓的上頂點．曲線C是以坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，過點F₁的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同的點P，Q，設=λ．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程；
（Ⅲ）若λ=，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點為坐標原點，焦點為F₂（1，0），∴．…（2分）
∴拋物線C的方程為y²=4x． …（3分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），B，∴△F₁AF₂是等邊三角形．
∴△F₁AF₂的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，…（5分）
∴△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程為． …（6分）
（Ⅲ）設l：y=k（x+1），k＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．
將l代入C得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0． …（8分）
∵l與C有那樣的兩個交點，∴由△＞0可得0＜k＜1．
∵，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂． …（9分）
又，根據(jù)x₁x₂=1可得：x₁=λ，． …（10分）
當時，根據(jù)得． …（11分）
∴直線l的方程為4x-5y+4=0． …（12分）
分析：（Ⅰ）確定拋物線C的頂點為坐標原點，焦點，由此可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）確定△F₁AF₂是等邊三角形，求出△F₁AF₂的內(nèi)切圓的圓心與半徑，可得△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程；
（Ⅲ）設l的方程代入C，由△＞0可得0＜k＜1，根據(jù)，結(jié)合韋達定理，可求直線的斜率，從而可得直線l的方程．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查三角形的內(nèi)切圓，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．