Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓  

x2

4

+y²=1的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求

PF1

• 

PF2

的取值范圍；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)Q（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且∠MON為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，-2≤x≤2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求•
（2）由題設(shè)條件，可設(shè)直線L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，由△＞0可求k的范圍，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，然后由0°＜∠MON＜90°可知

OM

•

ON

=x1x2+y1y2＞0，代入可求k的范圍

解答：解：（1）由橢圓

x2

4

+y²=1易知a=2，b=1，
∴c=

a2-b2

=

3

，所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

=

3x2-8

4

由橢圓的性質(zhì)可知，-2≤x≤2
∴-2≤

3x2-8

4

≤1
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1（6分）
（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則

y=kx+2 x2 4 +y2=1

消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
由△=16k²-12（k2+

1

4

）＞0得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

…①（9分）
又∵x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

又0°＜∠MON＜90°
∴cos∠MON＞0
∴

OM

•

ON

＞0
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2＞0（11分）
∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

1-k2

k2+ 1 4

∴

3

k2+ 1 4

+

1-k2

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4
∴-2＜k＜2…②（13分）
故由①②得-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于綜合試題