Question

已知函數(shù)f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）當(dāng)a=16時(shí)，試求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上的值域；
（2）若直線l交f（x）的圖象C于A，B兩點(diǎn)，與l平行的另一直線l′與圖象C切于點(diǎn)M．求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（3）若函數(shù)F（x）的圖象上沒有任何一點(diǎn)在x軸的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,等差關(guān)系的確定

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=16時(shí)，求出F/(x)=4x-

16

x

，令F′（x）=0，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，得到函數(shù)的值域．
（2）設(shè)A，M，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_M，x_B；直線l的方程為y=kx+m．聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到xA+xB=

k

2

，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=4x，求出x_A+x_B=2x_M．即可證明A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（3）利用F（x）≥0恒成立．求解F/(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．令F′（x）=0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，通過F（x）_min≥0，即可求出a的范圍．

解答： （本小題滿分14分）
（1）解：當(dāng)a=16時(shí)，函數(shù)F（x）=2x²-16lnx（x＞0）．
易知F/(x)=4x-

16

x

，令F′（x）=0，即4x-

16

x

=0，解得x=2．…（1分）
在區(qū)間（1，2）上，F(xiàn)′（x）＜0，∴函數(shù)F（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
在區(qū)間（2，3）上，F(xiàn)′（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在（2，3）上單調(diào)遞增；…（2分）
∴x=2是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，F(xiàn)（x）_min=F（2）=8-16ln2； …（3分）
又F（1）=2，F(xiàn)（3）=18-16ln3，
而F（3）-F（1）=16（1-ln3）＜0，故F（x）_max=F（1）=2； …（4分）
∴函數(shù)F（x）的值域?yàn)閇8-16ln2，2]．…（5分）
（2）證明：設(shè)A，M，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_M，x_B；直線l的方程為y=kx+m．
由

y=2x2 y=kx+m

得2x²-kx-m=0．∴xA+xB=

k

2

…①．…（7分）
又f′（x）=4x，∴k=f′（x_M）=4x_M…②…（8分）
將②代入①中得x_A+x_B=2x_M．
∴A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．…（9分）
（3）解：依題意，F(xiàn)（x）≥0恒成立．F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx（x＞0）
F/(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．令F′（x）=0，解得x=

a

2

．…（10分）
在區(qū)間(0，

a

2

)上，F(xiàn)′（x）＜0，
∴函數(shù)F（x）在(0，

a

2

)上單調(diào)遞減；
在區(qū)間(

a

2

，+∞)上，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在(

a

2

，+∞)上單調(diào)遞增； …（11分）
∴x=

a

2

是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，F(x)min=F(

a

2

)=

a

2

-aln

a

2

．…（12分）
欲滿足題意，只需F（x）_min≥0，即

a

2

-aln

a

2

≥0，注意到a＞0，
故

1

2

-ln

a

2

≥0，解之得0＜a≤4e．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．