Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-3，1），直線OB的傾斜角為45°，且|OB|=

2

．
（Ⅰ）求點B的坐標及線段AB的長度；
（Ⅱ）在平面直角坐標系xOy中，取1厘米為單位長度．現(xiàn)有一質點P以1厘米/秒的速度從點B出發(fā)，沿傾斜角為60°的射線BC運動，另一質點Q同時以

2

厘米/秒的速度從點A出發(fā)作直線運動，如果要使得質點Q與P會合，那么需要經過多少時間？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用直線OB的傾斜角為45°，且|OB|=

2

，求點B的坐標，根據AB∥x軸求出線段AB的長度；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理知|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cos120°，建立方程，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）設點B（x₀，y₀），依題意x0=

2

cos45°=1，y0=

2

sin45°=1．
從而B（1，1），
又A（-3，1），所以AB∥x軸，則|AB|=|1-（-3）|=4．…（3分）
（Ⅱ）設質點Q與P經過t秒會合于點C，
則|AC|=

2

t，|BC|=t．
由AB∥x軸及BC的傾斜角為60°，得∠ABC=120°．
在△ABC中，由余弦定理知|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cos120°，
所以2t2=16+t2+8t•

1

2

，化簡得，t²-4t-16=0，
解得t=2-2

5

（舍去）或t=2+2

5

．
答：若要使得質點Q與P會合，則需要經過（2+2

5

）秒．…（9分）

點評：本題考查解三角形的實際應用，考查學生的計算能力，正確運用余弦定理是關鍵．