Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ．
（1）討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），

且f′（x）=1+ ﹣ =

設(shè)g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a2﹣8，

①當(dāng)△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2 時(shí)，對(duì)一切x＞0都有f′（x）＞0，

此時(shí)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)△=a2﹣8=0，即a=2 時(shí)，僅對(duì)x= 有f′（x）=0，

對(duì)其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．

③當(dāng)△=a2﹣8＞0，即a＞2 時(shí)，

g（x）=x2﹣ax+2=0有兩個(gè)不同的實(shí)根 ， ，

由f′（x）＞0得，0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0得， ＜x＜ ，

此時(shí)f（x）在（0， ），（ ，+∞）上單調(diào)遞增，

在（ ， ）是上單調(diào)遞減

（2）解：解：f′（x）=1+ ﹣ = ，

依題意f'（x）≤0（等零的點(diǎn)是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，

令g（x）=x2﹣ax+2，則有 ，解得a≥3，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，+∞）

【解析】（1）求f（x）的定義域和導(dǎo)數(shù)fˊ（x）= ，設(shè)g（x）=x2﹣ax+2，因?yàn)樵诤瘮?shù)式中含字母系數(shù)，需要根據(jù)△的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別在函數(shù)的定義域內(nèi)解不式g（x）＞0和g（x）＜0確定的f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）由條件確定f'（x）≤0，再轉(zhuǎn)化為x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函數(shù)的圖象列出不等式求解，避免了分類討論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．