Question

已知⊙O₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，π）．
（Ⅰ）把⊙O₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)參數(shù)方程，把點(diǎn)A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）點(diǎn)M（x₀，y₀）在⊙O₁上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P（x，y）是線(xiàn)段AM的中點(diǎn)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

解：（I）∴⊙O₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，∴兩邊者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴⊙O₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2）²+y²=4
令x=2+2cosα，y=2sinα，得⊙O₁的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）
設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（m，n）
∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，π），∴m=2cosπ=-2，n=2sinπ=0
由此可得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，0）．
（II）∵A（-2，0），M（x₀，y₀），
∴線(xiàn)段AM的中點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足，可得
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在⊙O₁上運(yùn)動(dòng)，
∴（x₀-2）²+y₀²=4，可得[（2+2x）-2]²+（2y）²=4，化簡(jiǎn)得x²+y²=1
由此可得：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1．
分析：（I）將⊙O₁的極坐標(biāo)方程兩邊者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ，再根據(jù)公式ρcosθ=x和ρ²=x²+y²，代入化簡(jiǎn)即可得到⊙O₁的直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得到⊙O₁的參數(shù)方程．最后由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式，不難得到點(diǎn)A（2，π）的直角坐標(biāo)．
（II）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和A、M的坐標(biāo)，算出，再根據(jù)點(diǎn)M（x₀，y₀）是⊙O₁上的點(diǎn)，代入得到關(guān)于x、y二次方程，化簡(jiǎn)得x²+y²=1即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題給出⊙O₁的極坐標(biāo)方程，求它的直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，并依此求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．著重考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化和軌跡方程求法的一般步驟等知識(shí)，屬于中檔題．