Question

函數(shù)y=

3

x-2+4cos2

x

2

在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是

3 π

3

+1

．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值．

解答：解：∵y=

3

x-2+4cos2

x

2

=

3

x-2+2（1+cosx）
=

3

x+2cosx，
∴y′=

3

-2sinx，
令y′=0，解得sinx=

3

2

，又x∈[0，

π

2

]，∴x=

π

3

，
當(dāng)0＜x＜

π

3

時，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)

π

3

≤x＜

π

2

時，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
則當(dāng)x=

π

3

時，函數(shù)取最大值，最大值為yx=

π

3

=

3 π

3

+1．
故答案為：

3 π

3

+1

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，熟練運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化簡是本題的突破點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性．