Question

【題目】. 問：是否存在正數(shù)m，使得對于任意正數(shù)，可使為三角形的三邊構成三角形？如果存在：①試寫出一組x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：首先判斷a＞b，由構成三角形的條件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．運用參數(shù)分離和換元法，結合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，進而得到m的范圍．

試題解析：

x＞0，y＞0，a=x+y，，，

由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，

可得a＞b，

由題意可得要構成三角形，必須

b+c＞a且a+b＞c，

即有+m＞x+y

且x+y+＞m．

由m＜，

≥=2+，

當且僅當x=y取得等號．

可得m＜2+①

由m＞，

=+﹣，

令u=，則上式為u+﹣．

可令t=u+（t≥2），可得上式為t﹣=，

可得在[2，+∞）遞減，可得t﹣≤2﹣，

即有m＞2﹣②

由①②可得m的取值范圍是（2﹣，2+）．