Question

1．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{x}{a}$-1）²+（$\frac{x}$-1）²的定義域為[a，b]，其中0＜a＜b，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 原函數(shù)可以變成$f（x）=（\frac{x}{a}+\frac{x}-1）^{2}+1-\frac{2b}{a}$，然后求導數(shù)，根據(jù)0＜a＜b及x的范圍即可判斷該導數(shù)的符號，從而得出其在[a，b]上的單調(diào)性．

解答 解：$f（x）=（\frac{x}{a}-1）^{2}+（\frac{x}-1）^{2}$=$（\frac{x}{a}+\frac{x}-1）^{2}+1-\frac{2b}{a}$；
∴$f′（x）=2（\frac{x}{a}+\frac{x}-1）（\frac{1}{a}-\frac{{x}^{2}}）$；
∵0＜a＜b，x∈[a，b]；
∴$\frac{x}{a}+\frac{x}≥2\sqrt{\frac{a}}$，$\frac{a}＞1$；
∴$\frac{x}{a}+\frac{x}-1＞0$；
∵a≤x≤b；
$\frac{{x}^{2}}$的最大值為$\frac{{a}^{2}}$；
$\frac{1}{a}-\frac{{x}^{2}}≤\frac{1}{a}-\frac{{a}^{2}}=\frac{a-b}{{a}^{2}}＜0$；
∴$\frac{1}{a}-\frac{{x}^{2}}＜0$；
∴f′（x）＜0；
∴f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減．

點評 考查完全平方公式的運用，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，基本不等式的運用，以及求函數(shù)的最值．