Question

將邊長(zhǎng)為a的一塊正方形鐵皮的四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒．欲使所得的方盒有最大容積，截去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？方盒的最大容積為多少？

Answer 1

分析：首先列出容積與小正方形的邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)作為工具求解該最值問(wèn)題．注意自變量的取值范圍問(wèn)題．

解答：解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則盒底的邊長(zhǎng)為a-2x，
由于a-2x也要＞0，則x∈（0，

a

2

），
且方盒是以邊長(zhǎng)為a-2x的正方形作底面，高為x的正方體，
其體積為V=x(a-2x)2，(x∈(0，

a

2

))
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，則x1=

a

2

，x2=

a

6

，
由x1=

a

2

∉(0，

a

2

)，且對(duì)于x∈(0，

a

6

)，V′＞0，x∈(

a

6

，

a

2

)，V′＜0，
∴函數(shù)V在點(diǎn)x=

a

6

處取得極大值，由于問(wèn)題的最大值存在，
∴V（

a

6

）=

2a3

27

即為容積的最大值，此時(shí)小正方形的邊長(zhǎng)為

a

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)模型的工具作用，考查求函數(shù)最值的導(dǎo)數(shù)思想．體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的思想，注意發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用．