（2012•江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則
ba
的取值范圍是
[e，7]
[e，7]
．
分析：由題意可求得
1
4
≤
c
a
≤2，而5×
c
a
-3≤
b
a
≤4×
c
a
-1，于是可得
b
a
≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln
b
c
，從而
b
a
≥
b
c
ln
b
c
，設(shè)函數(shù)f（x）=
x
lnx
（x＞1），利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的極小值，也就是
b
a
的最小值，于是問題解決．
解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴
c
a
＞
1
4
，
∵5c-3a≤4c-a，
∴
c
a
≤2．
從而
b
a
≤2×4-1=7，特別當(dāng)
b
a
=7時(shí)，第二個(gè)不等式成立．等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln
b
c
，
從而
b
a
≥
b
c
ln
b
c
，設(shè)函數(shù)f（x）=
x
lnx
（x＞1），
∵f′（x）=
lnx-1
(lnx)2
，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x=e時(shí)，f′（x）=0，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）=
e
lne
=e．
等號當(dāng)且僅當(dāng)
b
c
=e，
b
a
=e成立．代入第一個(gè)不等式知：2≤
b
a
=e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：e：1．
從而
b
a
的取值范圍是[e，7]雙閉區(qū)間．
點(diǎn)評：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，得到
b
a
≥
b
c
ln
b
c
，通過構(gòu)造函數(shù)求
b
a
的最小值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）已知橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，則 A∪B=
{1，2，4，6}
{1，2，4，6}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實(shí)數(shù)c的值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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