Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，該橢圓的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+

2

相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸，橢圓C順次交于P，Q，R（P點在橢圓左頂點的左側(cè)）且∠RF₁F₂=∠PF₁Q，求證：直線l過定點，并求出斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓的焦點，由離心率可得b=c，再由直線和圓相切的條件d=r，可得b=1，進而得到a，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-1，0），由∠RF₁F₂=∠PF₁Q，可得直線QF₁和RF₁關(guān)于x軸對稱，運用直線的斜率公式，設(shè)直線PQ：y=kx+t，代入橢圓方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，化簡整理即可得到t=2k，進而得到直線l恒過定點（-2，0），由二次不等式解法即可得到k的范圍．

解答： （Ⅰ）解：橢圓的左，右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
橢圓的離心率為

2

2

，即有

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，b=

a2-c2

=c，
以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為x²+y²=b²，
直線y=x+

2

與圓相切，則有

| 2 |

2

=1=b，
即有a=

2

，
則橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-1，0），
由∠RF₁F₂=∠PF₁Q，可得直線QF₁和RF₁關(guān)于x軸對稱，
即有kQF1+kRF1=0，即

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=0，
即有x₁y₂+y₂+x₂y₁+y₁=0，①
設(shè)直線PQ：y=kx+t，代入橢圓方程，可得
（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
判別式△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，
即為t²-2k²＜1②
x₁+x₂=

-4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，③
y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
代入①可得，（k+t）（x₁+x₂）+2t+2kx₁x₂=0，
將③代入，化簡可得t=2k，
則直線l的方程為y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直線l恒過定點（-2，0）．
將t=2k代入②，可得2k²＜1，
解得-

2

2

＜k＜0或0＜k＜

2

2

．
則直線l的斜率k的取值范圍是（-

2

2

，0）∪（0，

2

2

）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的運用，注意運用直線和圓相切的條件，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題和易錯題．